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参数估计方法：1.点估计：1.1 矩估计：1.2 最大似然估计：1.3 评价标准：如果判断一个估计量是好是坏？
2. 区间估计：2.0 使用前提：2.1 单个总体：2.1.1 估计均值：2.1.2 估计方差：
2.2 两个总体：2.2.1 独立样本估计均值之差：2.2.2 匹配样本估计均值之差：2.2.3 估计方差之比：
3. 思维导图：
样本估计整体：
在统计学中，由于大多数情况下难以获得总体的情况，所以人们通常选择通过样本去估计总体（主要是通过样本的统计量估计总体的统计量）。
通常为已知样本分布【通常为正态分布】的情况下
由于知道每个样本的具体的值，故能知道样本的所有的数值特征 可以利用样本的参数（主要是
x
ˉ
\bar{x}
xˉ和
s
2
s^{2}
s2）对总体对应的参数（
μ
\mu
μ和
σ
2
\sigma^{2}
σ2）进行估计。
参数估计方法：
参数估计有两种方法分别是：点估计和区间估计
点估计（Point estimate for a parameter）:又包括矩估计和最大似然估计。
1.点估计：
1.1 矩估计：
矩估计直接用样本的统计量代替相应总体的统计量较为直白、粗暴，胜在简单：
利用如下公式直接对参数进行估计： 其中，
A
k
A_{k}
Ak是
x
x
x的
k
k
k阶原点矩。
A
k
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
k
A_{k} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}
Ak=n1i=1∑nxik
期望估计（一阶原点矩）
A
1
=
E
(
x
)
=
x
ˉ
A_{1} = E(x) = \bar{x}
A1=E(x)=xˉ
方差估计（二阶原点距）
A
2
=
E
(
x
2
)
=
D
(
x
)
+
[
E
(
x
)
]
2
A_{2} = E(x^{2}) = D(x) + \left[E(x)\right]^{2}
A2=E(x2)=D(x)+[E(x)]2
1.2 最大似然估计：
最大似然估计认为：出现所得到的观测值的原因，是因为其出现概率最大，具体计算操作此处暂不涉及。
1.3 评价标准：如果判断一个估计量是好是坏？
判断一个估计量的好坏：首先要以不存在系统性偏差为前提（期望相同）；在这个前提下误差越小越好（方差更下）；同时样本数越多，估计的越准（依概率收敛于被估计参数）。
无偏性：估计量的数学期望等于被估计参数。【期望相同】有效性：均为无偏时，方差小的有效性更强。【方差更小】一致性：随着样本量的增大，估计值接近被估计参数。【收敛于被估计参数】
2. 区间估计：
区间估计认为，小概率事件不会在一次实验中发生，故可以利用分位数确定参数所在区间范围。
考虑到样本参数直接等于总体参数的可能性接近于0，区间估计对齐进行优化：增加可能存在的误差区间【这个误差的大小由置信水平
1
−
α
1-\alpha
1−α决定（
α
\alpha
α可以当做犯错误的概率）】
若要求犯错的概率越低，那么误差的水平将会越大。若要求误差的水平越小，那么犯错的概率将会越高。
这是建立在已知信息（即样本的数量）不变的情况下，如果增大信息量（即增加样本量）那么可以同时减少误差和犯错概率！
2.0 使用前提：
林德伯格中心极限定理：保证正态总体前提
抛开数学公式的解释就是：当样本量足够大的时候，样本的分布将可以近似为正态分布，而如果已知是正态分布，那么一切都变得好办了起来。
注：图片来自知乎，作者慧航,如有侵权，请联系删除。
由此中心极限定理，可以将很多未知分布的问题转化为正态分布的问题，使得问题变得可以研究。因此接下来所讨论的问题均在已知正态总体的情况下进行讨论。
2.1 单个总体：
2.1.1 估计均值：
如果需要对整体均值（
μ
\mu
μ）进行估计，按照整体方差（
σ
2
\sigma^{2}
σ2）已知或未知分成两种不同的情况。分别采用
z
z
z（也可是说
u
u
u，下文统一用
z
z
z）统计量或者
t
t
t统计量。
待估参数其他参数（
σ
\sigma
σ）统计量置信区间
μ
\mu
μ未知
t
=
x
ˉ
−
μ
s
/
n
∼
t
(
n
−
1
)
t=\dfrac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t\left(n-1\right)
t=s/n
xˉ−μ∼t(n−1)
[
x
ˉ
±
t
α
/
2
s
n
]
\left[\bar{x}\pm t_{\alpha/2}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right]
[xˉ±tα/2n
s]
μ
\mu
μ已知
z
=
x
ˉ
−
μ
σ
/
n
∼
N
(
0
,
1
)
z=\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)
z=σ/n
xˉ−μ∼N(0,1)
[
x
ˉ
±
z
α
/
2
σ
n
]
\left[\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
[xˉ±zα/2n
σ]
注：在大样本（统计学中认为
n
≥
30
n\geq 30
n≥30的，可以称之为大样本）的情况下，即使总体方差未知也可以使用
z
z
z统计量进行估计。（从操作难度上来看，选择
z
z
z或者
t
t
t作为统计量是一样的）
SPSS中只有t检验
z
z
z和
t
t
t统计量的主要区别在于
t
t
t统计量厚尾
2.1.2 估计方差：
如果需要对整体方差（
σ
2
\sigma^{2}
σ2）进行估计，按照整体均值（
μ
\mu
μ ）已知或未知分成两种不同的情况，由于已知均值未知方差情况过于少见（以至于大多数教材都未列出），且二者差异只在自由度不同。此处只对
μ
\mu
μ未知的情况进行研究讨论。
待估参数其他参数（$\mu $）统计量置信区间
σ
\sigma
σ未知
χ
2
=
(
n
−
1
)
S
2
σ
2
∼
χ
2
(
n
−
1
)
\chi^{2}=\dfrac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi^{2}\left(n-1\right)
χ2=σ2(n−1)S2∼χ2(n−1)
[
(
n
−
1
)
S
2
χ
α
/
2
2
(
n
−
1
)
,
(
n
−
1
)
S
2
χ
1
−
α
/
2
2
(
n
−
1
)
]
\left[\dfrac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2}(n-1)},\dfrac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]
[χα/22(n−1)(n−1)S2,χ1−α/22(n−1)(n−1)S2]
2.2 两个总体：
两个总体的估计，主要有估计均值之差和估计方差之比两种情况，基本思路是将两总体转化为单总体再进行操作。所以具体的操作步骤和单总体操作基本类似，只是由于总体变成了两个，新增了一个分类维度，叫做“均值是否相同”。
样本的分类：
独立样本：两个样本是从两个相互独立的总体中抽取得到的。
匹配样本：一个样本的数据与另一个样本中的数据相互对应。
如一组学生的语文成绩和数学成绩，一个学生对应两个成绩，且每个语文成绩都有与齐相互对应的数学成绩。
2.2.1 独立样本估计均值之差：
方差已知的情况下，无论样本大小，对参数进行估计，均采用
z
z
z统计量。
统计量置信区间
z
=
(
x
‾
1
−
x
‾
2
)
−
(
μ
1
−
μ
2
)
σ
1
2
n
1
+
σ
2
2
n
2
{z}=\dfrac{\left(\overline{{x}}_{1}-\overline{{x}}_{2}\right)-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}
z=n1σ12+n2σ22
(x1−x2)−(μ1−μ2)
[
(
x
‾
1
−
x
‾
2
)
±
z
α
/
2
σ
1
2
n
1
+
σ
2
2
n
2
]
\left[\left(\overline{{x}}_{1}-\overline{{x}}_{2}\right) \pm {z}_{\alpha / 2} \sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^{2}}{{n}_{1}}+\dfrac{\sigma_{2}^{2}}{{n}_{2}}}\right]
[(x1−x2)±zα/2n1σ12+n2σ22
]
方差未知的情况下，需要对样本的大小进行讨论，采用不同的方法
大样本情况下的均值之差估计，不需要考虑总体方差是否相同
统计量置信区间
z
=
(
x
‾
1
−
x
‾
2
)
−
(
μ
1
−
μ
2
)
s
1
2
n
1
+
s
2
2
n
2
{z}=\dfrac{\left(\overline{{x}}_{1}-\overline{{x}}_{2}\right)-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}
z=n1s12+n2s22
(x1−x2)−(μ1−μ2)
[
(
x
‾
1
−
x
‾
2
)
±
z
α
/
2
s
1
2
n
1
+
s
2
2
n
2
]
\left[\left(\overline{{x}}_{1}-\overline{{x}}_{2}\right) \pm {z}_{\alpha / 2} \sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{{n}_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{{n}_{2}}}\right]
[(x1−x2)±zα/2n1s12+n2s22
]
小样本情况下的均值之差估计：在小样本的情况下，若方差已知。
方差相同方差不同统计量
t
=
(
x
‾
1
−
x
‾
2
)
−
(
μ
1
−
μ
2
)
s
p
1
/
n
1
+
1
/
n
2
∼
t
(
n
1
+
n
2
−
2
)
{t}=\dfrac{\left(\overline{{x}}_{1}-\overline{{x}}_{2}\right)-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{{s}_{{p}} \sqrt{1 / {n}_{1}+1 / {n}_{2}}} \sim {t}\left({n}_{1}+{n}_{2}-2\right)
t=sp1/n1+1/n2
(x1−x2)−(μ1−μ2)∼t(n1+n2−2)
t
=
x
‾
1
−
x
‾
2
s
1
2
n
1
+
s
2
2
n
2
∼
t
(
v
)
{t}= \dfrac{\overline{{x}}_{1}-\overline{{x}}_{2}}{\sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}}{{n}_{1}}+\dfrac{{s}_{2}^{2}}{{n}_{2}}}}\sim t\left(v\right)
t=n1s12+n2s22
x1−x2∼t(v)置信区间
[
(
x
ˉ
1
−
x
ˉ
2
)
±
t
α
/
2
(
n
1
+
n
2
−
2
)
s
p
2
(
1
/
n
1
+
1
/
n
2
)
]
\left[\left(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}\right) \pm t_{\alpha / 2}\left(n_{1}+n_{2}-2\right) \sqrt{s_{p}^{2}\left(1 / n_{1}+1 / n_{2}\right)}\right]
[(xˉ1−xˉ2)±tα/2(n1+n2−2)sp2(1/n1+1/n2)
]
[
(
x
‾
1
−
x
‾
2
)
±
t
α
/
2
(
v
)
s
1
2
n
1
+
s
2
2
n
2
]
\left[\left(\overline{{x}}_{1}-\overline{{x}}_{2}\right) \pm {t}_{\alpha/2}({v}) \sqrt{\dfrac{{s}_{1}^{2}}{{n}_{1}}+\dfrac{{s}_{2}^{2}}{{n}_{2}}}\right]
[(x1−x2)±tα/2(v)n1s12+n2s22
]参数信息
s
p
2
=
(
n
1
−
1
)
s
1
2
+
(
n
2
−
1
)
s
2
2
n
1
+
n
2
−
2
s_{p}^{2}=\dfrac{\left(n_{1}-1\right) s_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}
sp2=n1+n2−2(n1−1)s12+(n2−1)s22
v
=
(
s
1
2
n
1
+
s
2
2
n
2
)
2
(
s
1
2
/
n
1
)
2
n
1
−
1
+
(
s
2
2
/
n
2
)
2
n
2
−
1
{v}=\dfrac{\left(\dfrac{{s}_{1}^{2}}{{n}_{1}}+\dfrac{{s}_{2}^{2}}{{n}_{2}}\right)^{2}}{\dfrac{\left({s}_{1}^{2} / {n}_{1}\right)^{2}}{{n}_{1}-{1}}+\dfrac{\left({s}_{2}^{2} / {n}_{2}\right)^{2}}{{n}_{2}-{1}}}
v=n1−1(s12/n1)2+n2−1(s22/n2)2(n1s12+n2s22)2
2.2.2 匹配样本估计均值之差：
使用匹配样本可以排除由于样本本身的差异对结果造成的影响，下边列出方差未知情况下的匹配样本均值之差的参数估计
统计量置信区间大样本
z
=
d
ˉ
σ
d
/
n
∼
N
(
0
,
1
)
{z}=\dfrac{\bar{d}}{\sigma_{d}/\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)
z=σd/n
dˉ∼N(0,1)
[
d
ˉ
±
z
α
/
2
σ
d
n
]
\left[\bar{d} \pm {z}_{\alpha / 2} \dfrac{\sigma_{d}}{\sqrt{n}}\right]
[dˉ±zα/2n
σd]小样本
z
=
d
ˉ
s
d
/
n
∼
t
α
(
n
−
1
)
{z}=\dfrac{\bar{d}}{s_{d}/\sqrt{n}}\sim t_{\alpha}\left(n-1\right)
z=sd/n
dˉ∼tα(n−1)
[
d
ˉ
±
z
α
/
2
s
d
n
]
\left[\bar{d} \pm {z}_{\alpha / 2} \dfrac{s_{d}}{\sqrt{n}}\right]
[dˉ±zα/2n
sd]
其中：
d
ˉ
\bar{d}
dˉ：样本各差值的均值：
d
=
∑
X
1
i
−
X
2
i
n
d
d = \dfrac{\sum{X_{1i}-X_{2i}}}{n_{d}}
d=nd∑X1i−X2i
σ
d
\sigma_{d}
σd：总体各差值的标准差，
s
d
s_{d}
sd：样本各插值的标准差：
s
d
=
∑
(
d
i
−
d
ˉ
)
2
n
d
−
1
s_d = \sqrt{\dfrac{\sum{\left(d_{i}-\bar{d}\right)^{2}}}{n_{d}-1}}
sd=nd−1∑(di−dˉ)2
2.2.3 估计方差之比：
估计方差之比，先构造卡方统计量，对方差进行估计；再利用估计的方差做比，构造F统计量，从而求出方差之比的参数估计范围。由于应用较少，在此略去不表。（有时间再填这个坑吧）
3. 思维导图：
！