文章目录
噪音的产生噪音函数1. 椒盐噪音（Salt Pepper Noise）2. 高斯噪音（Gaussian Noise）3. 泊松噪音（Poisson Noise）泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布与光通量泊松过程(Poisson Process)
噪音的产生
所谓噪音，就是指在原始信号中出现了我们不希望的信号，或者干扰。了解噪音的生成方法，是为了方便我们更好的评估去噪函数。通常，在图像学领域，由于传感器的原因，会出现3种比较常见的噪音。
分别是椒盐噪音、高斯噪音以及泊松噪音。现在就来分别了解下这些噪音的产生原因，以及手工实现噪音产生的方法。
噪音函数
之所以降噪，是因为在图像数据的存储、传输过程中，通常会因为电子元器件之间的电磁干扰产生，又或者图像数据在传输过程中遇到来自自然界、或者人为的干扰。
举个例子来说，过去黑白电视机经常由于电信号干扰，而在图像中产生雪花。又或者是拿一个强磁，对着电子管的电视机进行干扰，而在图像中出现一些水纹波。
那么，工程师们根据经验，把常见噪音进行了以下几种的分类。
1. 椒盐噪音（Salt Pepper Noise）
椒盐噪声(salt-and-pepper noise)又称脉冲噪声，它随机改变一些像素值，在二值图像上表现为使一些像素点变白，一些像素点变黑。 是由图像传感器，传输信道，解码处理等产生的黑白相间的亮暗点噪声，也就是老人们比较熟悉的所谓“雪花”。
N
=
{
0
p
e
p
p
e
r
255
s
a
l
t
N = \left\{\begin{matrix} 0 & pepper\\ 255 & salt \end{matrix}\right.
N={0255peppersalt
def salt_pepper_noise(image, ratio):
output = np.zeros(image.shape, np.uint8)
for i in range(image.shape[0]):
for j in range(image.shape[1]):
rand = random.random()
if rand < ratio: # salt pepper noise
if random.random() > 0.5: # change the pixel to 255
output[i][j] = 255
else:
output[i][j] = 0
else:
output[i][j] = image[i][j]
return output
输出效果：
2. 高斯噪音（Gaussian Noise）
文字的描述比较枯燥，我这里就直接贴一张图来说明什么叫高斯噪音
首先从一维来介绍，假设某一种有效信号它表示为
μ
\mu
μ，而随着时间的延续，比方说这个信号是来自某种温度传感器，由于传感器老化或者传输信号出现了某种干扰，这些干扰的信号范围在
[
−
3
σ
,
3
σ
]
[-3\sigma, 3\sigma]
[−3σ,3σ]之间，然后我们把这段时间内噪音的振幅收集并且整理后，发现它符合正态分布曲线，亦或者称为高斯曲线，那么这样的噪音就称为高斯噪音。
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
e
(
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
)
f(x) = \frac{1}{ \sqrt {2 \pi } \sigma } e^(- \frac{(x- \mu )^2}{2 \sigma^2} )
f(x)=2π
σ1e(−2σ2(x−μ)2)
这个公式简单的说一下：
曲线关于
x
=
μ
x = \mu
x=μ 对称，通常这个值对应的是信号本号
x
=
μ
x = \mu
x=μ 处为正态分布的最大值，振幅为
1
2
π
σ
\frac{1}{ \sqrt {2 \pi } \sigma }
2π
σ1，也就是信号本号自身的强度，亦或者说是期望值而
σ
\sigma
σ所决定的，就是噪音信号的分布情况，数学上称这玩意为标准差当标准差越小，信号噪音就越集中在期望值附近，换句话说也就是信号受噪音影响程度越小，而标准差越大，信号就越模糊。
所以，如果将信号挪到了0上，而噪音分布的标准差为1的时候，这个就是小学二年级所说的标准正态分布了。
现在我们徒手撸一个高斯分布函数的实现：
def gaussian_noise_kernel(x, mu, sigma):
exp = math.exp(-1 * (
math.pow(x - mu, 2) / (2 * math.pow(sigma, 2))
))
peak = (math.sqrt(2 * 3.14159) * sigma)
return exp / peak
如果用numpy，代码可以写的更简单：
def gaussian_noise_kernel(x, mu, sigma):
return np.exp(-1*((x-mu)**2)/(2*(sigma**2)))/(math.sqrt(2*np.pi) * sigma)
然后，我们使用numpy的linspace函数，生成X轴坐标，关于这个函数怎么使用的，你可以网上搜素一下它的函数说明。
用一种比较笨的方法计算Y轴坐标：
mu1, sig1 = 0, 1 # standard distribution
mu2, sig2 = 1, 1 # move the chart to right
mu3, sig3 = 0, 0.5 # increase the noise coverage
mu4, sig4 = 0, 2.5 # increase the noise coverage
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y1, y2, y3, y4 = [], [], [], []
for i in range(50):
t1 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu1, sig1)
t2 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu2, sig2)
t3 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu3, sig3)
t4 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu4, sig4)
y1.append(t1)
y2.append(t2)
y3.append(t3)
y4.append(t4)
plt.plot(x, y1, 'r', label='mu1, sig1 = 0, 1')
plt.plot(x, y2, 'g', label='mu2, sig2 = 1, 1')
plt.plot(x, y3, 'b', label='mu3, sig3 = 0, 0.5')
plt.plot(x, y4, 'm', label='mu4, sig4 = 0, 2.5')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
现在我们已经成功的绘制处高斯分布曲线，然后把这个分布曲线函数引入到图像中，用来生成随机噪点。
首先明确一点，高斯噪音的特点是增加或减少原始信号，使得原始信号出现了随机“抖动”，并且抖动范围服从高斯分布（正态分布）。所以如果要生成高斯噪音，那么我们需要在原来高斯核的基础上，增加一个随机数生成器，并且把高斯函数调整为对于X=0轴上的正态分布（不一定是标准正态分布）。
所以，如果有一个正弦信号，那么叠加上高斯噪音后，输出的结果就会呈现上图所示的样子。现在放上实现的代码，它的执行效果不是最好的，但你应该是能看明白噪音的叠加方式。
def gaussian_noise(image, ratio, sigma):
# generate gaussian kernel
x = np.linspace(- 4 * sigma, 4 * sigma, 100)
kernel = gaussian_noise_kernel(x, 0, sigma)
# output image
output = np.zeros(image.shape, np.uint8)
for i in range(image.shape[0]):
for j in range(image.shape[1]):
rand = random.random()
if rand < ratio: # apply gaussian noise
pos = int(100 * random.random()
if x[pos] < 0:
temp = image[i][j] * (1 - kernel[pos])
if temp < 0:
output[i][j] = 0
else:
output[i][j] = temp
continue
if x[pos] >= 0:
temp = image[i][j] * (1 + kernel[pos])
if temp > 255:
output[i][j] = 255
else:
output[i][j] = temp
else:
output[i][j] = image[i][j]
return output
3. 泊松噪音（Poisson Noise）
简单的说就是满足泊松分布的噪音，你会觉得它和正态分布很相似，其实如果我们采集的数据越多，精度越密，其形态上它越发接近高斯分布函数，也就是正态分布，是常见的一种满足指数函数分布的离散模型。
泊松分布（Poisson Distribution）
泊松噪音存在的根本原因是因为光是由离散的光子构成（光的粒子性）。光源发出的光子打在CMOS上，从而形成一个可见的光点。光源每秒发射的光子到达CMOS的越多，则该像素的灰度值越大。但是因为光源发射和CMOS接收之间都有可能存在一些因素导致单个光子并没有被CMOS接收到或者某一时间段内发射的光子特别多，所以这就导致了灰度值会有波动，也就是所谓的散粒噪声。举例而言，在光源强度比较低的时候，比如说设定光强为每秒5个光子的时候，那么每秒实际CMOS接受到的光子数可能从0到10（服从泊松分布）1。
那么，泊松分布或者泊松噪音的基本形式是怎样的呢？
P
(
x
=
k
)
=
e
−
λ
λ
k
k
!
P(x=k) = \frac{e^{- \lambda} \lambda ^ k}{k!}
P(x=k)=k!e−λλk
这里，
λ
\lambda
λ 表示的是期望值，既某过程中，在它的给定时间内，事件的发生次数，比方说假设世界杯赛场上，每场比赛的进球数大约在2.5个球，那么
λ
=
2.5
\lambda=2.5
λ=2.5，因此假设对于一场比赛，分别发生0次进球，1次进球，2次进球的概率是2？
出现0次进球
P
(
x
=
0
)
=
2.
5
0
0
!
e
−
2.5
≈
0.082
P(x=0) = \frac{2.5^0}{0!} e^{-2.5} \approx 0.082
P(x=0)=0!2.50e−2.5≈0.082
出现1次进球
P
(
x
=
1
)
=
2.
5
1
1
!
e
−
2.5
≈
0.205
P(x=1) = \frac{2.5^1}{1!} e^{-2.5} \approx 0.205
P(x=1)=1!2.51e−2.5≈0.205
出现2次进球
P
(
x
=
2
)
=
2.
5
2
2
!
e
−
2.5
≈
0.257
P(x=2) = \frac{2.5^2}{2!} e^{-2.5} \approx 0.257
P(x=2)=2!2.52e−2.5≈0.257
出现3次进球
P
(
x
=
3
)
=
2.
5
3
3
!
e
−
2.5
≈
0.213
P(x=3) = \frac{2.5^3}{3!} e^{-2.5} \approx 0.213
P(x=3)=3!2.53e−2.5≈0.213
⋯
\cdots
⋯
现在我们把数据绘制到图表上，根据我们推算的进球概率，这样一个概率分布，就是泊松分布了。
泊松分布与光通量
接下来，我们把这个进球的过程换成单位时间内，有多少光子打到像素传感器上的过程3。为了说明这个问题，我们先解释一下照片成像的过程。我们在初中阶段的光学课程上，知道以前的老式相机是光束通过透镜，与胶片上的光感材料作用，把影像印在了胶片上，这个过程和小孔成像很类似。
而现代数码相机的普及，最大的区别就是胶片变成了光传感器。也就是CMOS传感器。由于它是一种光敏材料，在被一定量的光子照射后会产生电子，继而引起数字信号的变化。而在一个CMOS传感器上，有极多的传感单元，而这些传感单元，你可以理解为我们平常提到的像素。 而光子作用在每一个传感单元上所产生的信号不同，最终组合在一起成为了像素照片。所以如果我们把这个过程简化后，假设在单位时间内，有一束光包含有400个光子打到了相机的CMOS传感器上，从微观上说，这些光子是随机的落入到不同的像素传感器内。
因此对应一个像素传感器来说，如果我们统计一个像素在单位时间
t
t
t内，会有多少个光子落入到一个像素传感器内，那么可能会得出
[
0
,
4
]
[0,4]
[0,4]这样的一个结果。那么统计平均落入的光子数，并且绘制它的落入分布情况，我们可能会得出一个泊松分布。 假设这个情况的
λ
=
1.05
\lambda=1.05
λ=1.05，也就是平均每个像素传感器落入1.05个光子，那么它的概率分布图，也就是下面这个样子了： 那么这个模型的标准差
σ
=
∑
(
x
i
−
x
ˉ
)
n
≈
1.024
\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})}{n}} \approx 1.024
σ=n∑(xi−xˉ)
≈1.024，而这里的1.024就是光子散粒噪音（photon shot noise）
由于光子极微小，尽管我们假设从物体反射进入到CMOS传感器上的光束在单位时间内为400个光子，但这数量本质上来说是估算，或者说是平均数。因此实际上在单位时间
t
t
t内，传入CMOS的光子数可能是401，也可能是387个光子。
尽管从宏观上光子传播沿直线传播，但在微观上也就是光子运动轨迹存在一定程度的不确定性，这必然导致了噪音的产生。
所以我们可以直观的凭本能知道，如果这样一些带着随机运动的粒子，在击打到某个平面位置时，尽管大范围上符合某个范围的分布区间，但如果细致的观察，每一个落点存在着一定的误差（“噪音”）。
这就像是用霞弹枪、或者抛洒石灰，或者颜料，即便用同一种颜料，同一个角度抛洒到画布上，任然无法做出两幅一样的画的那种奇妙的感觉。 那么，光子到达图像传感器的这些波动如何影响我们的图像？噪点会使照片的视觉细节失真。而下图显示了一组模拟的图像，其中指定了每个像素的平均粒子数或光子数。 这表明对于低数量的光子，噪声占主导地位，但是随着光子数量（光通量）的增加，图像结构变得更加明显。 所以，如果我们要试图模拟泊松噪音，也就是单位像素传感器
p
p
p在单位时间
t
t
t内捕捉到的有效光子量，那么这个过程就是一个所谓的 “泊松过程(Poisson Process)”。
泊松过程(Poisson Process)
现在，我们已经知道了一个概率事件它的随机概率发生分布情况，如果近似符合二项分布的，就是一个泊松分布。现在我们需要反过来，去做一个符合这个分布的随机事件发生过程，而它就是所谓的泊松过程了。
回到上面的例子，如果在单位事件内
t
t
t，向CMOS传感器发射了（或者说物体反射了）一束包含400个光子光束，落在单个像素传感器上的光子数为
P
s
∈
[
0
,
4
]
P_s \in[0, 4]
Ps∈[0,4] ，我们在不考虑这些光子激发的电子有效率的情况下，假设1个光子落入了像素传感器就会产生1个电子。
也就是说，在单位时间内，一个像素可能接收到0个、1个、2个、3个、4个光子4。而如果我们把观察时间微分为
Δ
t
\Delta t
Δt，如果假设在某一个时间内，发生了1个光子击中像素传感器，那么接下来再发生一次光子击中像素传感器的概率就会下降；如果再次发生一次击中，那么等待第三次发生的概率就会更小，直到全部观察时间结束。
这一过程符合于指数，通常情况下，我们用下式表示这个过程，用通俗的话来描述：就是当某事件发生后，后续事件再次发生的概率，随着时间增加而减少
P
(
t
w
a
i
t
>
t
e
v
e
n
t
)
=
e
−
σ
⋅
t
P(t_{wait} > t_{event}) = e^{- \sigma \cdot t}
P(twait>tevent)=e−σ⋅t
这里
t
t
t表示时间变量，
σ
\sigma
σ表示单位时间内
Δ
t
\Delta t
Δt事件怕平均发生次数，或者说是期望。那么，我们同样可以得出某事件发生前的前面的事件发生概率，随着时间减少而增加
P
(
t
w
a
i
t
≤
t
e
v
e
n
t
)
=
1
−
e
−
σ
⋅
t
P(t_{wait} \leq t_{event}) = 1 - e^{- \sigma \cdot t}
P(twait≤tevent)=1−e−σ⋅t
明白了这个公式的概念，接下来我们就可以来模拟这个泊松过程了，那么受限于篇幅，生成泊松随机数的过程我就放在下一章里进行介绍了。
《泊松噪音》 ↩︎
Poisson Distribution, Alexander Katz, Andy Hayes, Tejas Suresh, etc. ↩︎
How to Create Awesome Noise That Is Actually Real, Erez Posner ↩︎
The Poisson Distribution and Poisson Process Explained, Will Koehresen ↩︎
！